EJEMPLOS DE PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA

        Ejercicios Resueltos Prob. Total y Teorema de Bayes

EJEMPLO 1

En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar.
a. Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.

b. Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.

SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

1. Suceso H: seleccionar una niña.2.
2. Suceso V: seleccionar un niño.
3. Suceso M: infante menor de 24 meses.

En los ejercicios de probabilidad total y teorema de bayes, es importante identificar los sucesos que forman la población y cuál es la característica que tienen en común dichos sucesos. Estos serán los sucesos condicionados.

a. En este caso, la población es de los infantes. Y la característica en común es que sean menores de 24 meses. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar un infante menor de 24 meses es un ejemplo de probabilidad total. Su probabilidad será:

P(M)=P(H)*P(M/H)+P(V)*P(M/V)=           0,6*0,2+0,4*0,35=0,26 O 26%

b. Para identificar cuando en un ejercicio se hace referencia al teorema de bayes, hay que partir de reconocer esta es una probabilidad condicionada y que la característica común de los sucesos condicionantes ya ha ocurrido. Entonces, la probabilidad de que sea niña una infante menor de 24 meses será:

P(H/M)=            P(H)*P(M/H)    =      0,6*0.2                        = 0,12 =  0,46 O 46%

P(H)*P(M/H)+P(V)*P(M/H)   0,6+0,2+0,4+0,35           0,26

EJEMPLO 2

Un médico cirujano se especializa en cirugías estéticas. Entre sus pacientes, el 20% se realizan correcciones faciales, un 35% implantes mamarios y el restante en otras cirugías correctivas. Se sabe además, que son de genero masculino el 25% de los que se realizan correcciones faciales, 15% implantes mamarios y 40% otras cirugías correctivas. Si se selecciona un paciente al azar, determine:
a. Determine la probabilidad de que sea de género masculino
b. Si resulta que es de género masculino, determine la probabilidad que se haya realizado una cirugía de implantes mamarios.


SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

1. Suceso F: pacientes que se realizan cirugías faciales
2. Suceso M: pacientes que se realizan implantes mamarios
3. Suceso O: pacientes que se realizan otras cirugías correctivas
4. Suceso H: pacientes de género masculino

a. La probabilidad de que sea de género masculino se refiere a un problema de probabilidad total, ya que es el suceso condicionado y las cirugías los condicionantes. Dicho valor será:

P(H) = P(F)*P(H/F)+P(M)*P(H/M)+P(O)*P(O/H)

P(H)= 0,2*0,25+0,35*0,15+0,45*0,40=0,28 Ó 28%

b. Como el suceso condicionado ha ocurrido entonces se aplica el teorema de bayes, luego, el valor de la probabilidad será:

P(M/H)=                                      P(M)*P(H/M)

P(F)*P(H/F)+P(M)*P(H/M)+P(O)*P(O/H)

P(M/H)=                                       0,35*0,15                         =

0,2*0,25+0,35*0,15+0,45*0,40

0,0525    = 0,19 Ó  19%

0,2825

EJEMPLO 3

Sucesos incompatibles 2 a 2.

Y cuya unión es el espacio muestral (A ₁  A ₂ ...  A _n = E).

Y B es otro suceso.

Resulta que:

Las probabilidades p(A₁) se denominan probabilidades a priori.

Las probabilidades p(A_i/B) se denominan probabilidades a posteriori.

Las probabilidades p(B/A_i) se denominan verosimilitudes.

SOLUCIÓN:

El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?