TEMA 2 PROBABILIDADES

Definición de probabilidad

Para poder definir probabilidad vamos a estudiar el origen etimológico de la palabra. Este término procede del vocablo probabilitas del latín. Esta es una palabra compuesta por probare, un verbo que quiere decir comprobar; bilis, un sufijo que significa posibilidad; y tat, otro sufijo que indica que se trata de una cualidad. En resumen, probabilidad es la cualidad de lo que es probable, es decir algo que es posible que ocurra. Para ser más claros, si hay existe la posibilidad que algo suceda hay que medirlo de forma cuantitativa y al resultado es lo que se conoce como probabilidad, por eso es normal oír a la expresión: mayor probabilidad o menor probabilidad. Aunque básicamente estas respuestas se clasifican en 3 categorías: seguro, probable o improbable; dependiendo de la cantidad de posibilidades que existan para su realización o hecho.

Tipos de probabilidad

• Probabilidad  frecuencial:

Para poder determinar esta probabilidad se realiza un experimento aleatorio repetido un número específico de veces y se procede a registrar esos datos, dividiéndolos cuantas veces se obtenga el resultado que se espera, entre las veces que se haya realizado el experimento. Ejemplo: Se lanza un dado 10 veces. Anota las veces en que salió cada número del dado. Divide las veces que salió el dado entre la cantidad de veces que se lanzó.

Probabilidad matemática Este tipo de probabilidad pertenece a la rama de las matemáticas que estudian los experimentos conocidos como aleatorios, en los cuales se conocen previamente la mayoría de los resultados que puedan desencadenar esos experimentos matemáticos. En algunos casos no se tiene la seguridad de cuál será el resultado de ciertas combinaciones.

Ejemplo:

De un recipiente con 5 pelotas de diferentes colores, Silvia sacaba pelotas de una en una, regresando cada pelota antes de volver a sacar otra. En la siguiente tabla se registraron los resultados del experimento.

Color de las pelotas	Verde	Rojo	Anaranjado	Amarillo	Azul
Veces que salió	132	108	120	126	114

Calcula la probabilidad teórica de que salga una pelota de cada color. En este caso hay la misma cantidad de pelotas de cada color por lo que la probabilidad teórica es igual para todas las pelotas.
En este caso el espacio muestral es de 5 pelotas y hay 1 pelota de cada color.
1
5
= 0.2
La probabilidad teórica de que salga una pelota es de 0.2.
El porciento de probabilidad teórica de que salga una pelota es de 0.2 x 100 = 20%
Calcula el porciento de probabilidad de la pelota que buscamos. En este caso buscamos una pelota cuya probabilidad frecuencial de salir en este experimento es 2% menor que su probabilidad teórica de salir:

20% - 2% = 18%


Eventos mutuamente excluyentes y no excluyentes:

Eventos mutuamente excluyentes y eventos no excluyentes
Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos).
 Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultánea.
La regla de la Adición expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al menos dos sucesos A y B es igual a:
P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B)
Si A y B son mutuamente excluyente:
P(A o B) = P(A) + P(B)  P(A y B)
Si A y B son no excluyentes Siendo:
P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento
AP (B) = probabilidad de ocurrencia del evento
BP(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B Eventos Independientes

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Ejemplo:

En una bolsa se tienen 3 bolitas rojas, 2 blancas y 4 azules. Se saca una al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea roja o azul?
Solución:
P(roja o azul) =casos favorables/ casos totales
P = (cantidad de bolas rojas + cantidad de bolas azules)/ cantidad total de bolas en la bolsa
P =(3 + 4 )/( 3 + 2 + 4 )

P =7/9

Probabilidad matemática:

Este tipo de probabilidad pertenece a la rama de las matemáticas que estudian los experimentos conocidos como aleatorios, en los cuales se conocen previamente la mayoría de los resultados que puedan desencadenar esos experimentos matemáticos. En algunos casos no se tiene la seguridad de cuál será el resultado de ciertas combinaciones.

Probabilidad binomial:

Señala el éxito o el probable fracaso.


Ejemplo:

La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:

R/  ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la novela 2 personas?

B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2

¿Y cómo máximo 2?

Probabilidad objetiva:

Es el tipo de probabilidad que es calculada sabiendo la cantidad total de posibles respuestas o resultados.

Probabilidad geométrica: 

Es aquella que muestra la exactitud de la probabilidad.



Ejemplo:

Los registros de una compañía constructora de pozos, indican que la probabilidad de que uno de sus pozos nuevos, requiera de reparaciones en el término de un año es de 0.20. ¿Cuál es la probabilidad de que el quinto pozo construido por esta compañía en un año dado sea el primero en requerir reparaciones en un año?.

Solución:
x = 5 que el quinto pozo sea el primero que requiera reparaciones en un año
p = 0.20 = probabilidad de que un pozo requiera reparaciones en el término de un año
q = 0.80 = probabilidad de que un pozo no requiera reparaciones en el término de un año
p(x = 5) = ( 0.80) (5-1)  (0.20)=0.08192

Probabilidad estadística, basada en características o propiedades que se cumplen en la mayoría de los casos.

Ejemplo:

El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservas sabe, por
experiencia, que el 20% de las personas que reservan una mesa no asistirán. Si el
restaurante acepta 25 reservas pero sólo dispone de 20 mesas, ¿cuál es la probabilidad de

que a todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa? 

Representemos por la variable aleatoria δ la decisión de asistir (δ = 0) o no (δ = 1) finalmente al restaurante por parte de una persona que ha hecho una reserva. Esta variable sigue una distribución de Bernoulli de parámetro p = 0,2, de acuerdo con el enunciado del ejercicio. Suponiendo que las distintas reservas son independientes entre sí, se tiene que, de un total de n reservas (δ 1….δ n), el número de ellas que acuden finalmente al restaurante es una variable

aleatoria Yn =∑= n i 1 δ1, con distribución binomial de parámetros n y p=0,2. En el caso particular del problema, n=25. Entonces, para aquellas personas que asistan al restaurante de las 25 que han hecho la reserva puedan disponer de una mesa, debe ocurrir que acudan 20 o menos. Así se tiene que:
                 20    
 P (Y ≤  20) =∑    ( 25 )* 0,2 i *(1 - 0,2) 25-i  = 0,5799
                      i=o     i


Probabilidad lógica: basada en una hipótesis confirmada.

Probabilidad condicionada:

Este tipo de probabilidad como su nombre lo indica es una posibilidad condicionada, va a depender de lo que le ocurra al otro. Ejemplo: Es posible que pase un hecho A, si ya ha pasado un hecho o suceso B.

Ejemplo:

De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que:

1. Las dos sean copas
2. Al menos una sea copas
3. Una sea copa y la otra espada

R/

Las dos sean copas
Al menos una sea copas
Una sea copa y la otra espada 


Probabilidad de la intersección:

Esta probabilidad se denomina de intersección si el hecho que se verifica ocurre solo cuando se verifican A y B. Se denominan A y B a dos elementos del conjunto.

Probabilidad de la unión:

Es una probabilidad o posibilidad de la unión cuando se pueden verificar tanto A como B o ambos a la vez. Ejemplo AyB, A o B. Dentro de la probabilidad de la unión los sucesos pueden ser compatibles e incompatibles.

Probabilidad de espacio muestral:

Es un conjunto en el que están incluidos todos los resultados probabilísticos que sea posible que ocurran durante un experimento de tipo aleatorio. Su símbolo es E. Los elementos que lo conforman siempre se escriben dentro de llaves como estas: { }. A los elementos que  componen el espacio muestral se les denomina sucesos elementales. Los espacios muestrales pueden ser discretos y continuos.


Ejemplo:

Se lanzan  3 monedas:

R/
Tres monedas, tiene 8 elementos:U = {( c ; c ; c ), ( c ; c ;s ) ,( c ;s ; c ), ( c ;s ;s ) ,( s ; c ; c ) ,( s ;c ;s ) , (s ; s ;c) , (s ;s ; s) }

Experimento aleatorio:

es aquel que bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir o reproducir el resultado exacto de cada experiencia particular. (Ej.: Lanzamiento de un dado).

Este tipo de fenómeno es opuesto al suceso determinista, en el que conocer todos los factores de un experimento permite predecir exactamente el resultado del mismo. Por ejemplo, conociendo la altura desde la que se arroja un móvil es posible saber exactamente el tiempo que tardará en llegar al suelo en condiciones de vacío.

Ejemplo:

https://www.youtube.com/watch?v=vnJTHebvm2I